3. Начертите равнобедренный треугольник АВС с основанием АС и острым углом В. С помощью циркуля и линейки проведите высоту АН из вершины угла А.

Решение:

Построение:

1. Строим равнобедренный треугольник ABC:
• Проведем произвольную прямую. На ней отметим точки A и C.
• Из точки A и C проводим дуги окружностей с одинаковым радиусом, пересекающиеся в точке B.
• Соединяем точки A, B и C. \( \triangle ABC \) — равнобедренный с основанием AC. Угол B острый, так как углы при основании \( \angle BAC = \angle BCA = \frac{180^\circ - \angle B}{2} \) и \( \angle B < 90^\circ \).
2. Проводим высоту AH из вершины A к основанию BC (или к прямой, содержащей основание):
• Из точки A проводим дугу окружности, пересекающую прямую BC в двух точках (обозначим их D и E). Если вершина B является тупым углом, то дуга может пересечь BC в одной точке или не пересечь вовсе. В случае тупого угла B, высоту проводят к продолжению стороны BC. Если угол C тупой, то высоту проводят к продолжению стороны AC. В нашем случае, поскольку угол B острый, и треугольник равнобедренный, углы A и C также острые, и высота AH будет падать на сторону BC.
• Из точек D и E проводим дуги окружностей с одинаковым радиусом (большим, чем половина DE), пересекающиеся в точке F.
• Проводим прямую AF. Эта прямая пересечет сторону BC в точке H.
• Отрезок AH — искомая высота.

Чертеж:

Ответ: Построение выполнено.