Ответ:

Наименьшее четырёхзначное число — 1000. Число, кратное 6, должно делиться на 2 и на 3. Проверим последовательно: 1000 не делится на 3; 1001 не делится на 2; 1002 делится на 2, а сумма его цифр равна 1 + 0 + 0 + 2 = 3, поэтому оно делится на 3.

Ответ: 1002.