3. Нарисуйте какой-нибудь граф, в котором 4 вершины, нет петель и ровно: а) 3 цикла; б) 2 цикла.

Решение:

а) Граф с 4 вершинами и 3 циклами:

Чтобы получить 3 цикла при 4 вершинах, граф должен быть полным графом \( K_4 \), который имеет 6 рёбер. В \( K_4 \) существует 3 цикла длины 3 (например, 1-2-3-1, 1-2-4-1, 1-3-4-1) и 3 цикла длины 4 (например, 1-2-3-4-1).

График:

б) Граф с 4 вершинами и 2 циклами:

Можно построить граф, где вершины 1, 2, 3 образуют цикл, а вершина 4 соединена с одной из вершин цикла, например, с вершиной 1. Этот граф будет иметь 4 вершины, 4 ребра и 2 цикла (1-2-3-1 и 1-2-3-4-1).

График:

Ответ: Графические изображения представлены выше.