3. Нарисуйте в тетради какое-нибудь дерево, в котором 7 вершин, причём степени: а) 2 вершины; б) 4 вершины; в) 6 вершин.

Для дерева с 7 вершинами сумма степеней равна \(2(7-1)=12\). Степень вершины — число рёбер, выходящих из неё.

а) Степени 2 вершины: возьмём рёбра AB, AC, AD, AE, AF, FG. Степени вершин A и F равны 5 и 2; остальные вершины имеют степень 1. Ровно две вершины имеют степень не меньше 2.

б) Степени 4 вершины: возьмём рёбра AB, AC, AD, AE, EF, FG. Степени A, E, F, G равны соответственно 4, 2, 2, 2; остальные — 1.

в) Степени 6 вершин: возьмём рёбра AB, AC, AD, AE, EF, FG. Вершины A, E, F, G имеют степени 4, 2, 2, 2, поэтому только четыре вершины здесь имеют степень больше 1. Чтобы получить ровно шесть, возьмём цепь A–B–C–D–E–F–G: у пяти внутренних вершин? В цепи из 7 вершин ровно 5 вершин имеют степень 2, значит нужно другое дерево. Пример: рёбра AB, AC, AD, AE, EF, FG дают четыре вершины степени больше 1, а не шесть; следовательно, требование невозможно.

В дереве с 7 вершинами есть 6 рёбер, сумма степеней 12. Если 6 вершин имели бы степень не меньше 2, минимальная сумма степеней была бы \(6\cdot2+1=13\), что противоречит сумме 12. Поэтому пункт в) невозможен.