3. Найдите: 1) cos α, если sin α = 1/6 и 0° ≤ α ≤ 90°; 2) sin α, если cos α = 1/7; 3) cos α, если sin α = 3/8.

Question

Вопрос:

3. Найдите: 1) cos α, если sin α = 1/6 и 0° ≤ α ≤ 90°; 2) sin α, если cos α = 1/7; 3) cos α, если sin α = 3/8.

Accepted Answer

По тождеству \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\): \(\cos^2\alpha=1-\left(\frac{1}{6}\right)^2=\frac{35}{36}\). Поскольку \(\alpha\) лежит в первой четверти, косинус положителен: \(\cos\alpha=\frac{\sqrt{35}}{6}\).
\(\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=1-\left(\frac{1}{7}\right)^2=\frac{48}{49}\), поэтому без дополнительного условия на угол \(\sin\alpha=\pm\frac{4\sqrt{3}}{7}\). Если предполагается, что \(\alpha\) острый, берётся положительное значение.
\(\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\left(\frac{3}{8}\right)^2=\frac{55}{64}\), поэтому без дополнительного условия на угол \(\cos\alpha=\pm\frac{\sqrt{55}}{8}\). Если предполагается, что \(\alpha\) острый, берётся положительное значение.

Ответ: 1) \(\frac{\sqrt{35}}{6}\); 2) \(\pm\frac{4\sqrt{3}}{7}\); 3) \(\pm\frac{\sqrt{55}}{8}\). Для пунктов 2–3 при условии острого угла — соответственно положительные значения.