3. Найдите: а) НОД (150; 315); б) НОК (150; 315).

Решение:

Разложим числа 150 и 315 на простые множители.

1. Разложение на простые множители:

• \( 150 = 15 \cdot 10 = (3 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) = 2 \cdot 3 \cdot 5^2 \)
• \( 315 = 5 \cdot 63 = 5 \cdot 9 \cdot 7 = 5 \cdot 3^2 \cdot 7 = 3^2 \cdot 5 \cdot 7 \)

2. Нахождение НОД (наибольшего общего делителя):

Чтобы найти НОД, берём общие простые множители в наименьшей степени:

Общие множители: 3 и 5.

Наименьшая степень для 3 — первая \( (3^1) \).

Наименьшая степень для 5 — первая \( (5^1) \).

\( \text{НОД}(150; 315) = 3 \cdot 5 = 15 \)

3. Нахождение НОК (наименьшего общего кратного):

Чтобы найти НОК, берём все простые множители из обоих разложений, каждый в наибольшей степени:

Множители: 2 (наиб. степень 1), 3 (наиб. степень 2), 5 (наиб. степень 2), 7 (наиб. степень 1).

\( \text{НОК}(150; 315) = 2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7 = 2 \cdot 9 \cdot 25 \cdot 7 = 18 \cdot 25 \cdot 7 = 450 \cdot 7 = 3150 \)

Ответ: а) НОД (150; 315) = 15; б) НОК (150; 315) = 3150.