3. Найдите диаметр окружности, вписанной в треугольник ABC. На рисунке AP и BP — биссектрисы углов A и B, PK ⟂ AB, BK = 4, BP = 5.

Точка P — центр вписанной окружности, поэтому расстояния от P до сторон треугольника равны. Следовательно, PK = 4.

В прямоугольном треугольнике BPK гипотенуза BP = 5, а катет BK = 4. По теореме Пифагора:

\(PK^2 + BK^2 = BP^2\), значит \(PK^2 + 4^2 = 5^2\), откуда \(PK = 3\).

PK — радиус вписанной окружности, поэтому её диаметр равен \(2\cdot3=6\).

Ответ: 6.