3. Найдите длину медианы ВМ треугольника АВС, если координаты вершин треугольника А (2; 5), B (0; 0), C (4; 3).

Дано:

• Треугольник ABC.
• Координаты вершин: A(2; 5), B(0; 0), C(4; 3).
• BM - медиана.

Найти:

• Длину медианы BM.

Решение:

1. Найти координаты точки M:
   Медиана BM соединяет вершину B с серединой противоположной стороны AC. Найдем координаты середины отрезка AC (точка M).
2. Координаты середины отрезка с концами (x1, y1) и (x2, y2) вычисляются по формулам:
\[ M_x = \frac{x_1 + x_2}{2}, \quad M_y = \frac{y_1 + y_2}{2} \]
Для точек A(2; 5) и C(4; 3):\[ M_x = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]
\[ M_y = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]
3. Таким образом, координаты точки M: M(3; 4).
4. Найти длину медианы BM:
   Теперь найдем расстояние между точками B(0; 0) и M(3; 4) по формуле расстояния между двумя точками (x1, y1) и (x2, y2):
\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]
\[ BM = \sqrt{(3 - 0)^2 + (4 - 0)^2} \]
\[ BM = \sqrt{3^2 + 4^2} \]
\[ BM = \sqrt{9 + 16} \]
\[ BM = \sqrt{25} = 5 \text{ см.} \]

Ответ: Длина медианы BM равна 5 см.