3. Найдите коэффициенты a, b, c в уравнении прямой ax + by + c = 0, все точки которой находятся на равных расстояниях от точек A (2; 2) и B (7; 4). Требуется, чтобы коэффициенты a, b, c были целыми, не имели общих делителей, кроме 1 или −1, и a было положительным.

Искомая прямая — серединный перпендикуляр к отрезку AB.

Координаты середины отрезка AB: \(M\left(\frac{2+7}{2};\frac{2+4}{2}\right)=\left(\frac{9}{2};3\right)\).

Угловой коэффициент прямой AB: \(k_{AB}=\frac{4-2}{7-2}=\frac{2}{5}\). Поэтому угловой коэффициент перпендикулярной прямой: \(k=-\frac{5}{2}\).

Уравнение серединного перпендикуляра:

\(y-3=-\frac{5}{2}\left(x-\frac{9}{2}\right)\).

Умножим на 4 и приведём к общему виду:

\(4y-12=-10x+45\),

\(10x+4y-57=0\).

Коэффициенты взаимно просты, коэффициент \(a\) положительный.

Ответ: a = 10; b = 4; c = −57.