3. Найдите наибольший общий делитель чисел: а) 34 и 56; б) 45 и 65; в) 102 и 204; г) 1005 и 960. Разложите на простые множители числа 1440 и 240. Во сколько раз 1440 больше 240? Дана правильная дробь m/15. Найдите все значения m такие, чтобы числитель и знаменатель дроби были взаимно простыми.

а) 34 и 56. Разложим числа на простые множители: 34 = 2 · 17, 56 = 2³ · 7. Общий множитель — 2, поэтому НОД(34, 56) = 2.

б) 45 и 65. 45 = 3² · 5, 65 = 5 · 13. Общий множитель — 5, поэтому НОД(45, 65) = 5.

в) 102 и 204. Поскольку 204 = 2 · 102, число 102 делит 204. Поэтому НОД(102, 204) = 102.

г) 1005 и 960. 1005 = 3 · 5 · 67, 960 = 2⁶ · 3 · 5. Общие простые множители: 3 и 5. Поэтому НОД(1005, 960) = 3 · 5 = 15.

Разложения на простые множители:

1440 = 144 · 10 = 2⁴ · 3² · 5.

240 = 24 · 10 = 2⁴ · 3 · 5.

Чтобы найти, во сколько раз 1440 больше 240, вычислим отношение: 1440 : 240 = 6.

Дробь m/15. Так как дробь правильная, m — натуральное число от 1 до 14. Числитель должен быть взаимно прост с 15 = 3 · 5, значит, m не делится ни на 3, ни на 5. Подходящие значения: 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14.

Ответ: а) 2; б) 5; в) 102; г) 15. 1440 = 2⁴ · 3² · 5; 240 = 2⁴ · 3 · 5; 1440 больше 240 в 6 раз. m = 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14.