3. Найдите неизвестный катет и площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 25 дм, а второй катет равен 15 дм.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся теоремой Пифагора \( a^2 + b^2 = c^2 \) и формулой площади прямоугольного треугольника \( S = \frac{1}{2} ab \).

1. Найдём неизвестный катет:

1. Обозначим гипотенузу \( c = 25 \) дм, известный катет \( b = 15 \) дм. Найдём катет \( a \).
2. Подставим значения в теорему Пифагора: \( a^2 + 15^2 = 25^2 \).
3. Вычислим квадраты: \( a^2 + 225 = 625 \).
4. Вычтем 225 из обеих частей: \( a^2 = 625 - 225 \).
5. Получим: \( a^2 = 400 \).
6. Извлечём квадратный корень: \( a = \sqrt{400} = 20 \) дм.

2. Найдём площадь треугольника:

1. Используем формулу площади: \( S = \frac{1}{2} ab \).
2. Подставим значения катетов: \( S = \frac{1}{2} \cdot 20 \text{ дм} \cdot 15 \text{ дм} \).
3. Вычислим: \( S = 10 \text{ дм} \cdot 15 \text{ дм} = 150 \) дм².

Ответ: неизвестный катет равен 20 дм, площадь треугольника равна 150 дм².