3. Найдите объём правильной усечённой треугольной пирамиды, стороны оснований которой равны 2 см и 10 см, а высота – 6 см.

Решение:

Для нахождения объёма правильной усечённой треугольной пирамиды воспользуемся формулой:

• \[ V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2) \]

где:

• \[ V \] — объём пирамиды
• \[ h \] — высота пирамиды
• \[ R \] — радиус описанной окружности большего основания
• \[ r \] — радиус описанной окружности меньшего основания

В данном случае у нас правильная усечённая треугольная пирамида, поэтому основания — равносторонние треугольники.

Радиус описанной окружности равностороннего треугольника вычисляется по формуле:

• \[ r = \frac{a}{\sqrt{3}} \]

где:

• \[ a \] — сторона треугольника

1. Найдём радиусы описанных окружностей оснований:

• Большее основание (сторона \[ a_1 = 10 \text{ см} \]):
• \[ R = \frac{10}{\sqrt{3}} \text{ см} \]
• Меньшее основание (сторона \[ a_2 = 2 \text{ см} \]):
• \[ r = \frac{2}{\sqrt{3}} \text{ см} \]

2. Подставим значения в формулу объёма:

• Высота \[ h = 6 \text{ см} \]
• \[ V = \frac{1}{3} \pi \cdot 6 \left( \left( \frac{10}{\sqrt{3}} \right)^2 + \left( \frac{10}{\sqrt{3}} \right) \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right) + \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right)^2 \right) \]
• \[ V = 2 \pi \left( \frac{100}{3} + \frac{20}{3} + \frac{4}{3} \right) \]
• \[ V = 2 \pi \left( \frac{100 + 20 + 4}{3} \right) \]
• \[ V = 2 \pi \left( \frac{124}{3} \right) \]
• \[ V = \frac{248 \pi}{3} \text{ см}^3 \]

Важное замечание: Формула объёма усечённой пирамиды зависит от площадей оснований, а не от радиусов описанных окружностей, если речь идет о прямой усеченной пирамиде. Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле: \( S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \).

Давайте пересчитаем, используя площади оснований.

1. Найдем площади оснований:

• Большее основание (сторона \[ a_1 = 10 \text{ см} \]):
• \[ S_1 = \frac{10^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{100 \sqrt{3}}{4} = 25 \sqrt{3} \text{ см}^2 \]
• Меньшее основание (сторона \[ a_2 = 2 \text{ см} \]):
• \[ S_2 = \frac{2^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{4 \sqrt{3}}{4} = \sqrt{3} \text{ см}^2 \]

2. Используем формулу объёма усечённой пирамиды:

• \[ V = \frac{1}{3} h (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2}) \]
• Высота \[ h = 6 \text{ см} \]
• \[ V = \frac{1}{3} \cdot 6 \left( 25 \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{25 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} \right) \]
• \[ V = 2 \left( 26 \sqrt{3} + \sqrt{25 \cdot 3} \right) \]
• \[ V = 2 \left( 26 \sqrt{3} + \sqrt{75} \right) \]
• \[ V = 2 \left( 26 \sqrt{3} + 5 \sqrt{3} \right) \]
• \[ V = 2 \left( 31 \sqrt{3} \right) \]
• \[ V = 62 \sqrt{3} \text{ см}^3 \]

Ответ: 62√3 см³