№3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) параболой y=(x-1)², прямыми x=-1 и x=2 и осью Ох.

Краткое пояснение:

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции, осью Ox и двумя вертикальными прямыми, находится путем вычисления определенного интеграла от функции в заданных пределах.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определим пределы интегрирования. По условию, прямые заданы как \( x = -1 \) и \( x = 2 \).
2. Шаг 2: Определим подынтегральную функцию. Это уравнение параболы \( y = (x-1)^2 \). Важно проверить, находится ли график функции над осью Ox в заданных пределах. Так как \( (x-1)^2 \) всегда неотрицательно, функция находится над осью Ox.
3. Шаг 3: Вычисляем определенный интеграл.
   \( S = \int_{-1}^{2} (x-1)^2 dx \)
   Раскроем скобки: \( (x-1)^2 = x^2 - 2x + 1 \).
   \( S = \int_{-1}^{2} (x^2 - 2x + 1) dx \)
4. Шаг 4: Находим первообразную.
   \( F(x) = \int (x^2 - 2x + 1) dx = \frac{x^3}{3} - 2\frac{x^2}{2} + x = \frac{x^3}{3} - x^2 + x \)
5. Шаг 5: Вычисляем значение интеграла в пределах от -1 до 2.
   \( S = [\frac{x^3}{3} - x^2 + x]_{-1}^{2} \)
   \( S = (\frac{2^3}{3} - 2^2 + 2) - (\frac{(-1)^3}{3} - (-1)^2 + (-1)) \)
   \( S = (\frac{8}{3} - 4 + 2) - (\frac{-1}{3} - 1 - 1) \)
   \( S = (\frac{8}{3} - 2) - (\frac{-1}{3} - 2) \)
   \( S = \frac{8}{3} - 2 + \frac{1}{3} + 2 \)
   \( S = \frac{8}{3} + \frac{1}{3} = \frac{9}{3} = 3 \)

Ответ: 3