3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y = -3x², y = 0, x = 1 и x = 2.

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной сверху графиком функции \( y = f(x) \) и снизу осью \( Ox \) на отрезке \( [a, b] \), вычисляется по формуле: \( S = \int_a^b f(x) dx \).

В данном случае функция \( y = -3x^2 \) находится ниже оси \( Ox \) на отрезке \( [1, 2] \). Чтобы получить положительную площадь, мы можем проинтегрировать абсолютное значение функции или поменять пределы интегрирования и знак.

Возьмем интеграл от \( -3x^2 \) с пределами от 1 до 2:

\[ S = \int_1^2 (-3x^2) dx \]

1. Находим первообразную:

\[ F(x) = \int (-3x^2) dx = -3 \frac{x^3}{3} = -x^3 \]

2. Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

\[ S = [-x^3]_1^2 = (-2^3) - (-1^3) = (-8) - (-1) = -8 + 1 = -7 \]

Так как площадь не может быть отрицательной, берём абсолютное значение:

\[ S = |-7| = 7 \]

Или, интегрируя \( 3x^2 \) от 1 до 2:

\[ S = \int_1^2 3x^2 dx = [x^3]_1^2 = 2^3 - 1^3 = 8 - 1 = 7 \]

Ответ: 7.