3. Найдите: S_△ABC (Image shows a triangle ABC inscribed in a circle. Side AB is 8√5 m. The radius of the circle is indicated as 10 m. Side AC is indicated as 10 m.)

Пошаговое решение:

1. Из чертежа видно, что AC = 10 м и радиус описанной окружности R = 10 м.
2. Поскольку AC = R, то центральный угол, опирающийся на хорду AC, равен 60°. Следовательно, угол ABC, опирающийся на ту же хорду, равен 30°.
3. Сторона AB = 8√5 м.
4. Используем формулу площади треугольника через две стороны и синус угла между ними: S = (1/2) * AB * AC * sin(∠BAC).
5. Также можно использовать формулу площади через две стороны и угол: S = (1/2) * AB * BC * sin(∠ABC) или S = (1/2) * AC * BC * sin(∠BCA).
6. Из теоремы синусов: AC/sin(∠ABC) = AB/sin(∠BCA) = BC/sin(∠BAC) = 2R.
7. 10/sin(30°) = 8√5 / sin(∠BCA) = BC/sin(∠BAC) = 2 * 10 = 20.
8. sin(∠BCA) = 10 / 20 = 1/2. Следовательно, ∠BCA = 30° или ∠BCA = 150°.
9. Если ∠BCA = 30°, то ∠BAC = 180° - 30° - 30° = 120°.
10. Если ∠BCA = 150°, то ∠BAC = 180° - 30° - 150° = 0°, что невозможно.
11. Следовательно, ∠BAC = 120°.
12. BC = 20 * sin(120°) = 20 * (√3/2) = 10√3 м.
13. S = (1/2) * AB * AC * sin(∠BAC) = (1/2) * 8√5 * 10 * sin(120°) = 40√5 * (√3/2) = 20√15 м².
14. Проверим формулу S = (abc) / (4R): S = (8√5 * 10 * 10√3) / (4 * 10) = (800√15) / 40 = 20√15 м².

Ответ: 20√15 м²