3. Найдите стационарные точки и наибольшее значение функции \(y=\frac{2x}{1+x^2}\) на промежутке \([-3;+\infty)\). Запишите стационарные точки в порядке возрастания.

Найдём производную по правилу дифференцирования дроби:

\(y'=\frac{2(1+x^2)-2x\cdot2x}{(1+x^2)^2}=\frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}\).

Знаменатель положителен при всех действительных \(x\), поэтому стационарные точки находятся из уравнения \(1-x^2=0\). Отсюда \(x=-1\) и \(x=1\); обе принадлежат заданному промежутку.

Значения функции: \(y(-1)=-1\), \(y(1)=1\). На промежутке функция убывает на \([-3,-1]\), возрастает на \([-1,1]\) и убывает на \([1,+\infty)\). Кроме того, \(y(-3)=-\frac35\), а при \(x\to+\infty\) функция стремится к нулю. Следовательно, наибольшее значение равно 1.

Ответ: стационарные точки −1 и 1; наибольшее значение 1.