3. Найдите точки экстремума функции f(x) = x³ + 3x² - 9x + 5.

Решение:

Чтобы найти точки экстремума функции, необходимо найти её первую производную, приравнять её к нулю и решить полученное уравнение.

1. Найдем первую производную функции \( f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x + 5 \):
   \( f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(3x^2) - \frac{d}{dx}(9x) + \frac{d}{dx}(5) \)
   \( f'(x) = 3x^2 + 6x - 9 \)
2. Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
   \( 3x^2 + 6x - 9 = 0 \)
   Разделим все члены уравнения на 3:
   \( x^2 + 2x - 3 = 0 \)
3. Решим квадратное уравнение. Можно воспользоваться теоремой Виета или дискриминантом. По теореме Виета:
• Произведение корней \( x_1 \cdot x_2 = -3 \)
• Сумма корней \( x_1 + x_2 = -2 \)
4. Подбираем корни: \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = -3 \).
5. Проверим: \( 1 \cdot (-3) = -3 \) и \( 1 + (-3) = -2 \). Корни найдены верно.
6. Определим знаки производной на интервалах, чтобы выяснить, являются ли эти точки точками максимума или минимума.
• Возьмём точку \( x < -3 \), например, \( x = -4 \):
  \( f'(-4) = 3(-4)^2 + 6(-4) - 9 = 3(16) - 24 - 9 = 48 - 24 - 9 = 15 > 0 \). Функция возрастает.
• Возьмём точку \( -3 < x < 1 \), например, \( x = 0 \):
  \( f'(0) = 3(0)^2 + 6(0) - 9 = -9 < 0 \). Функция убывает.
• Возьмём точку \( x > 1 \), например, \( x = 2 \):
  \( f'(2) = 3(2)^2 + 6(2) - 9 = 3(4) + 12 - 9 = 12 + 12 - 9 = 15 > 0 \). Функция возрастает.
7. Из смены знака производной следует:
   
   • В точке \( x = -3 \) производная меняет знак с «+» на «-», значит, это точка максимума.
   • В точке \( x = 1 \) производная меняет знак с «-» на «+», значит, это точка минимума.

Ответ: Точка максимума — \( x = -3 \). Точка минимума — \( x = 1 \).