3. Найдите точки экстремума функции f(x) = x³ - 3x² - 9x - 8

Решение:

Чтобы найти точки экстремума функции, нужно найти её производную, приравнять её к нулю и решить полученное уравнение.

1. Находим производную функции \( f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x - 8 \):
   \( f'(x) = (x^3 - 3x^2 - 9x - 8)' \)
   \( f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 \)
2. Приравниваем производную к нулю:
   \[ 3x^2 - 6x - 9 = 0 \]
3. Разделим уравнение на 3:
   \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \]
4. Решаем квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант.
   Используем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac \)
   \( D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \)
   \( \sqrt{D} = \sqrt{16} = 4 \)
   Находим корни:
   \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 4}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3 \]
   \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 4}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1 \]
5. Теперь определим, какие из этих точек являются точками экстремума. Для этого проверим знак производной на интервалах, образованных найденными точками.
   Интервалы: \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 3) \), \( (3, +\infty) \).
6. Возьмём пробные точки:
   На интервале \( (-\infty, -1) \), например, \( x = -2 \):
   \( f'(-2) = 3(-2)^2 - 6(-2) - 9 = 3(4) + 12 - 9 = 12 + 12 - 9 = 15 > 0 \). Функция возрастает.
   На интервале \( (-1, 3) \), например, \( x = 0 \):
   \( f'(0) = 3(0)^2 - 6(0) - 9 = -9 < 0 \). Функция убывает.
   На интервале \( (3, +\infty) \), например, \( x = 4 \):
   \( f'(4) = 3(4)^2 - 6(4) - 9 = 3(16) - 24 - 9 = 48 - 24 - 9 = 15 > 0 \). Функция возрастает.
7. Точка \( x = -1 \) — точка максимума (производная меняет знак с '+' на '-').
   Точка \( x = 3 \) — точка минимума (производная меняет знак с '-' на '+').

Ответ: точки экстремума: \( x_{max} = -1 \), \( x_{min} = 3 \).