3. Найдите точки экстремума функции f(x)=x³-3x²-9x- 9x-8

Решение:

1. Для нахождения точек экстремума функции необходимо найти её производную и приравнять её к нулю.
2. Найдем производную функции \( f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x - 8 \):
   \( f'(x) = (x^3)' - (3x^2)' - (9x)' - (8)' \)
   \( f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 \)
3. Приравняем производную к нулю:
   \[ 3x^2 - 6x - 9 = 0 \]
4. Разделим уравнение на 3:
   \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \]
5. Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
   \[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \]
6. Найдем корни:
   \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]
   \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]
7. Эти значения \( x = 3 \) и \( x = -1 \) являются критическими точками.
8. Теперь определим, являются ли эти точки точками экстремума, проверив знак производной на интервалах.
9. Рассмотрим интервалы \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 3) \) и \( (3, \infty) \).
10. Возьмем точку из \( (-\infty, -1) \), например \( x = -2 \):
    \[ f'(-2) = 3(-2)^2 - 6(-2) - 9 = 3(4) + 12 - 9 = 12 + 12 - 9 = 15 \]Производная положительна, значит, функция возрастает.
11. Возьмем точку из \( (-1, 3) \), например \( x = 0 \):
    \[ f'(0) = 3(0)^2 - 6(0) - 9 = -9 \]Производная отрицательна, значит, функция убывает.
12. Возьмем точку из \( (3, \infty) \), например \( x = 4 \):
    \[ f'(4) = 3(4)^2 - 6(4) - 9 = 3(16) - 24 - 9 = 48 - 24 - 9 = 15 \]Производная положительна, значит, функция возрастает.
13. Так как при переходе через \( x = -1 \) производная меняет знак с (+) на (-), то в точке \( x = -1 \) — локальный максимум.
14. Так как при переходе через \( x = 3 \) производная меняет знак с (-) на (+), то в точке \( x = 3 \) — локальный минимум.

Ответ: Точки экстремума: \( x = -1 \) (максимум), \( x = 3 \) (минимум).