№3 Найдите углы четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, если ∠ACB = 36°, ∠ABD = 48°, ∠BAC = 85°.

Решение:

Дано: Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. \( \angle ACB = 36^{\circ} \), \( \angle ABD = 48^{\circ} \), \( \angle BAC = 85^{\circ} \).

Найти: \( \angle A, \angle B, \angle C, \angle D \).

1. Найдём \( \angle ABC \): \( \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC \). Так как \( \angle DBC = \angle DAC \) (опираются на одну дугу DC), нам нужно найти \( \angle DAC \).
2. Найдём \( \angle CAD \): В треугольнике ABC, \( \angle ABC = 180^{\circ} - \angle BAC - \angle ACB = 180^{\circ} - 85^{\circ} - 36^{\circ} = 59^{\circ} \).
3. Найдём \( \angle CAD \): В треугольнике ABC, \( \angle BAC = 85^{\circ} \), \( \angle ABC = 59^{\circ} \), \( \angle ACB = 36^{\circ} \).
4. Найдём \( \angle ADB \): \( \angle ADB = \angle ACB = 36^{\circ} \) (опираются на одну дугу AB).
5. Найдём \( \angle CDB \): \( \angle CDB = \angle CAB = 85^{\circ} \) (опираются на одну дугу CB).
6. Найдём \( \angle ADC \): \( \angle ADC = \angle ADB + \angle CDB = 36^{\circ} + 85^{\circ} = 121^{\circ} \).
7. Найдём \( \angle BCD \): \( \angle BCD = 180^{\circ} - \angle BAD \).
8. Найдём \( \angle BAD \): \( \angle BAD = \angle BAC + \angle CAD \).
9. Найдём \( \angle CAD \): В треугольнике ABD, \( \angle ADB = 36^{\circ} \), \( \angle ABD = 48^{\circ} \). \( \angle BAD_{ABC} = 180^{\circ} - 48^{\circ} - 36^{\circ} = 96^{\circ} \). Это неверно, так как \( \angle BAC = 85^{\circ} \).
10. Переосмыслим:
11. \( \angle ACB = 36^{\circ} \) — опирается на дугу AB, значит, дуга AB = \( 2 \cdot 36^{\circ} = 72^{\circ} \).
12. \( \angle ADB = \angle ACB = 36^{\circ} \) (опираются на одну дугу AB).
13. \( \angle ABD = 48^{\circ} \) — опирается на дугу AD, значит, дуга AD = \( 2 \cdot 48^{\circ} = 96^{\circ} \).
14. \( \angle ACD = \angle ABD = 48^{\circ} \) (опираются на одну дугу AD).
15. \( \angle BAC = 85^{\circ} \) — опирается на дугу BC, значит, дуга BC = \( 2 \cdot 85^{\circ} = 170^{\circ} \).
16. \( \angle BDC = \angle BAC = 85^{\circ} \) (опираются на одну дугу BC).
17. Найдём углы четырёхугольника:
18. \( \angle A = \angle BAC + \angle CAD \). Чтобы найти \( \angle CAD \), используем тот факт, что \( \angle CBD = \angle CAD \).
19. Найдём \( \angle CBD \): В треугольнике BCD, \( \angle BDC = 85^{\circ} \), \( \angle BCD = 180^{\circ} - \angle B \).
20. Найдём \( \angle ABC \): \( \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 48^{\circ} + \angle DBC \).
21. Найдём \( \angle ACB = 36^{\circ} \): Дуга AB = \( 2 \cdot 36^{\circ} = 72^{\circ} \).
22. Найдём \( \angle BAC = 85^{\circ} \): Дуга BC = \( 2 \cdot 85^{\circ} = 170^{\circ} \).
23. Найдём \( \angle ABD = 48^{\circ} \): Дуга AD = \( 2 \cdot 48^{\circ} = 96^{\circ} \).
24. Найдём дугу CD: Сумма дуг равна \( 360^{\circ} \). Дуга CD = \( 360^{\circ} - 72^{\circ} - 170^{\circ} - 96^{\circ} = 22^{\circ} \).
25. Найдём \( \angle CAD \): \( \angle CAD \) опирается на дугу CD, значит \( \angle CAD = 22^{\circ} / 2 = 11^{\circ} \).
26. Угол A = \( \angle BAC + \angle CAD = 85^{\circ} + 11^{\circ} = 96^{\circ} \).
27. Угол C = \( \angle ACB + \angle ACD \). \( \angle ACD \) опирается на дугу AD, значит \( \angle ACD = 96^{\circ} / 2 = 48^{\circ} \).
28. \( \angle C = 36^{\circ} + 48^{\circ} = 84^{\circ} \).
29. Угол B = \( \angle ABD + \angle DBC \). \( \angle DBC \) опирается на дугу DC, значит \( \angle DBC = 22^{\circ} / 2 = 11^{\circ} \).
30. \( \angle B = 48^{\circ} + 11^{\circ} = 59^{\circ} \).
31. Угол D = \( \angle ADB + \angle BDC \). \( \angle ADB \) опирается на дугу AB, значит \( \angle ADB = 72^{\circ} / 2 = 36^{\circ} \).
32. \( \angle BDC \) опирается на дугу BC, значит \( \angle BDC = 170^{\circ} / 2 = 85^{\circ} \).
33. \( \angle D = 36^{\circ} + 85^{\circ} = 121^{\circ} \).
34. Проверка: \( \angle A + \angle C = 96^{\circ} + 84^{\circ} = 180^{\circ} \) (противоположные углы вписанного четырёхугольника).
35. \( \angle B + \angle D = 59^{\circ} + 121^{\circ} = 180^{\circ} \) (противоположные углы вписанного четырёхугольника).

Ответ: \( \angle A = 96^{\circ}, \angle B = 59^{\circ}, \angle C = 84^{\circ}, \angle D = 121^{\circ} \).