3. Найдите уравнение касательной к графику функции y = (2x-1)/(x+2) в точке x_0 = -1.

Решение:

Чтобы найти уравнение касательной к графику функции \( y = f(x) \) в точке \( x_0 \), нам нужно знать значение функции в этой точке \( f(x_0) \) и значение производной функции в этой точке \( f'(x_0) \). Уравнение касательной имеет вид: \( y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0) \).

1. Найдем значение функции в точке \( x_0 = -1 \):
   \( f(-1) = \frac{2(-1)-1}{-1+2} = \frac{-2-1}{1} = -3 \)
2. Найдем производную функции \( y = \frac{2x-1}{x+2} \). Используем правило дифференцирования частного: \( (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \), где \( u = 2x-1 \) и \( v = x+2 \).
   \( u' = 2 \), \( v' = 1 \>.
   \( f'(x) = \frac{2(x+2) - (2x-1)(1)}{(x+2)^2} = \frac{2x+4 - 2x+1}{(x+2)^2} = \frac{5}{(x+2)^2} \>
3. Найдем значение производной в точке \( x_0 = -1 \):
   \( f'(-1) = \frac{5}{(-1+2)^2} = \frac{5}{1^2} = 5 \>
4. Теперь подставим найденные значения в уравнение касательной:
   \( y - (-3) = 5(x - (-1)) \>
5. Упростим уравнение:
   \( y + 3 = 5(x + 1) \>
6. \( y + 3 = 5x + 5 \>
7. \( y = 5x + 5 - 3 \>
8. \( y = 5x + 2 \>

Ответ: уравнение касательной к графику функции в точке \( x_0 = -1 \) есть \( y = 5x + 2 \>.