3. Найдите все решения уравнения cos 2x + sin² x = cos x, принадлежащие отрезку [-π; π ].

Решение:

Дано уравнение: \( \cos 2x + \sin^2 x = \cos x \).

Воспользуемся формулой двойного угла для косинуса: \( \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 \). Также вспомним основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \).

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

\[ (2\cos^2 x - 1) + (1 - \cos^2 x) = \cos x \]\[ 2\cos^2 x - 1 + 1 - \cos^2 x = \cos x \]\[ \cos^2 x = \cos x \]\[ \cos^2 x - \cos x = 0 \]\[ \cos x (\cos x - 1) = 0 \]

Это уравнение распадается на два случая:

1. \( \cos x = 0 \)


2. \( \cos x - 1 = 0 \) \(\Rightarrow\) \( \cos x = 1 \)

Теперь найдём решения для каждого случая на отрезке \( [-\pi; \pi] \).

Случай 1: \( \cos x = 0 \)

На отрезке \( [-\pi; \pi] \) косинус равен нулю при \( x = -\frac{\pi}{2} \) и \( x = \frac{\pi}{2} \).

Случай 2: \( \cos x = 1 \)

На отрезке \( [-\pi; \pi] \) косинус равен единице при \( x = 0 \).

Объединим все найденные решения:

\( x = -\frac{\pi}{2}, x = 0, x = \frac{\pi}{2} \).

Ответ: \( -\frac{\pi}{2}, 0, \frac{\pi}{2} \).