3. Найти биссектрису AD равнобедренного треугольника АВС, с основанием АС, если периметр треугольника ABD равен 24 дм, а периметр треугольника АВС равен 36 дм.

Решение:

Пусть \( \triangle ABC \) — равнобедренный треугольник с основанием \( AC \). Это означает, что \( AB = BC \).

Пусть \( AD \) — биссектриса. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является также медианой и высотой.

Следовательно, \( D \) — середина \( AC \), то есть \( AD = DC \), и \( BD \) — высота, \( \angle BDA = 90^{\circ} \).

Обозначим:

• \( AB = BC = x \)
• \( AC = y \)
• \( AD = DC = d \)

Тогда \( y = 2d \).

Периметр \( \triangle ABC \) равен \( AB + BC + AC \) = \( x + x + y = 2x + y \).

По условию, \( P_{ABC} = 36 \) дм, следовательно, \( 2x + y = 36 \) (1).

Периметр \( \triangle ABD \) равен \( AB + BD + AD \).

В прямоугольном треугольнике \( \triangle ABD \) по теореме Пифагора: \( AB^2 = AD^2 + BD^2 \), то есть \( x^2 = d^2 + BD^2 \).

Отсюда \( BD = \sqrt{x^2 - d^2} \).

Периметр \( \triangle ABD \) равен \( x + \sqrt{x^2 - d^2} + d \).

По условию, \( P_{ABD} = 24 \) дм, следовательно, \( x + \sqrt{x^2 - d^2} + d = 24 \) (2).

Из уравнения (1) выразим \( y \): \( y = 36 - 2x \).

Так как \( y = 2d \), то \( 2d = 36 - 2x \), откуда \( d = 18 - x \).

Теперь подставим \( d \) в уравнение (2):

\( x + \sqrt{x^2 - (18 - x)^2} + (18 - x) = 24 \)

\( x + \sqrt{x^2 - (324 - 36x + x^2)} + 18 - x = 24 \)

\( \sqrt{x^2 - 324 + 36x - x^2} + 18 = 24 \)

\( \sqrt{36x - 324} = 24 - 18 \)

\( \sqrt{36x - 324} = 6 \)

Возведём обе части в квадрат:

\( 36x - 324 = 36 \)

\( 36x = 324 + 36 \)

\( 36x = 360 \)

\( x = \frac{360}{36} = 10 \) дм.

Теперь найдём \( d \) (длина биссектрисы \( AD \)):

\( d = 18 - x = 18 - 10 = 8 \) дм.

Ответ: Бисектриса AD равна 8 дм.