3. Найти интеграл \( \int (2\cos x - 3x^2 - 3)dx \)

Решение:

Для нахождения интеграла \( \int (2\cos x - 3x^2 - 3)dx \) воспользуемся свойством линейности интеграла и правилами интегрирования:

1. Разделим интеграл на сумму интегралов: \( \int (2\cos x - 3x^2 - 3)dx = \int 2\cos x dx - \int 3x^2 dx - \int 3 dx \)
2. Вынесем константы за знак интеграла: \( = 2\int \cos x dx - 3\int x^2 dx - 3\int 1 dx \)
3. Применим основные правила интегрирования:
• \( \int \cos x dx = \sin x \)
• \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} \)
• \( \int 1 dx = x \)
4. Подставим полученные результаты:
• \( 2\int \cos x dx = 2 \sin x \)
• \( 3\int x^2 dx = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3 \)
• \( 3\int 1 dx = 3x \)
5. Соберем все части вместе и добавим константу интегрирования \( C \):
• \( 2 \sin x - x^3 - 3x + C \)

Таким образом, интеграл равен:

\[ \int (2\cos x - 3x^2 - 3)dx = 2\sin x - x^3 - 3x + C \]

Ответ: \( 2\sin x - x^3 - 3x + C \).