3. Найти первообразные функций f(x)=x³-3x²+5 f(x)=1/x²-3xe^(2x-1) f(x)=e^(ax-1) + (2x-3)⁵ f(x)=4x³+x²-2 f(x)=1/(x+7)-e^(3x+1) f(x)=(3x-2)⁴-e^(5x-3)

Question

Вопрос:

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Чтобы найти первообразную функцию, нужно применить правило интегрирования для каждого члена выражения.

1. $$f(x) = x^3 - 3x^2 + 5$$

Интеграл от $$-3x^2$$ равен $$-3 \times \frac{x^{2+1}}{2+1} = -3 \times \frac{x^3}{3} = -x^3$$.

Первообразная: $$F(x) = \frac{x^4}{4} - x^3 + 5x + C$$

2. $$f(x) = \frac{1}{x^2} - 3xe^{2x-1}$$

Интеграл от $$\frac{1}{x^2}$$ (или $$x^{-2}$$) равен $$\frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$$.

Интеграл от $$-3xe^{2x-1}$$ требует интегрирования по частям. Это более сложная задача, и без дополнительных уточнений или контекста (например, если это часть более крупной задачи или учебника, где такой метод уже изучался) дать простое решение затруднительно.

3. $$f(x) = e^{ax-1} + (2x-3)^5$$

Интеграл от $$(2x-3)^5$$ равен $$\frac{(2x-3)^{5+1}}{2(5+1)} = \frac{(2x-3)^6}{12}$$.

Первообразная: $$F(x) = \frac{1}{a}e^{ax-1} + \frac{(2x-3)^6}{12} + C$$

4. $$f(x) = 4x^3 + x^2 - 2$$

Интеграл от $$4x^3$$ равен $$4 \times \frac{x^{3+1}}{3+1} = 4 \times \frac{x^4}{4} = x^4$$.

Первообразная: $$F(x) = x^4 + \frac{x^3}{3} - 2x + C$$

5. $$f(x) = \frac{1}{x+7} - e^{3x+1}$$

Первообразная: $$F(x) = \ln|x+7| - \frac{1}{3}e^{3x+1} + C$$

6. $$f(x) = (3x-2)^4 - e^{5x-3}$$

Интеграл от $$(3x-2)^4$$ равен $$\frac{(3x-2)^{4+1}}{3(4+1)} = \frac{(3x-2)^5}{15}$$.

Первообразная: $$F(x) = \frac{(3x-2)^5}{15} - \frac{1}{5}e^{5x-3} + C$$

Примечание: $$C$$ - это произвольная постоянная интегрирования.

Ответ:

$$F(x) = -\frac{1}{x} - 3xe^{2x-1} + C$$ (для второго примера требуется метод интегрирования по частям)