3. Найти площадь фигуры, ограниченной прямыми y=x, y= 2x, x=3.

Решение:

Фигура ограничена тремя прямыми: \( y = x \) (прямая L1), \( y = 2x \) (прямая L2) и \( x = 3 \) (прямая L3).

Чтобы найти площадь, нам нужно определить верхнюю и нижнюю границы интегрирования по оси x, а также пределы интегрирования.

1. Найдём точки пересечения прямых:

• Пересечение L1 и L2: \( x = 2x \implies x = 0 \). Точка (0,0).
• Пересечение L1 и L3: \( x = 3 \). \( y = 3 \). Точка (3,3).
• Пересечение L2 и L3: \( x = 3 \). \( y = 2 \cdot 3 = 6 \). Точка (3,6).

2. Определим функцию, которая находится выше.
В интервале \( [0, 3] \), \( 2x \ge x \). Следовательно, прямая \( y = 2x \) находится выше прямой \( y = x \).

3. Вычислим площадь как разность интегралов:
Площадь \( S \) фигуры равна интегралу от разности верхнего и нижнего пределов по x от 0 до 3.

\[ S = \int_{0}^{3} (2x - x) dx \]\[ S = \int_{0}^{3} x dx \]\[ S = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{3} \]\[ S = \frac{3^2}{2} - \frac{0^2}{2} \]\[ S = \frac{9}{2} - 0 \]\[ S = 4.5 \]

Ответ: Площадь фигуры равна 4.5.