3. Найти площадь трапеции, если основания равны 12 и 13, боковая сторона равна 4, а угол при левом основании равен 45°.

Проведём высоту из верхней левой вершины. Обозначим высоту трапеции через \(h\).

В образовавшемся прямоугольном треугольнике угол равен \(45^\circ\), поэтому горизонтальная проекция левой боковой стороны также равна \(h\).

Разность оснований равна:

\(13-12=1\).

Следовательно, горизонтальная проекция правой боковой стороны равна \(1-h\). По теореме Пифагора для правого треугольника:

\(h^2+(1-h)^2=4^2\).

Раскроем скобки:

\(h^2+1-2h+h^2=16\),

\(2h^2-2h-15=0\).

Решаем квадратное уравнение:

\(h=\frac{2\pm\sqrt{4+120}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{31}}{2}\).

Высота положительна, поэтому:

\(h=\frac{1+\sqrt{31}}{2}\).

Площадь трапеции:

\(S=\frac{a+b}{2}\cdot h=\frac{12+13}{2}\cdot\frac{1+\sqrt{31}}{2}\).

\(S=\frac{25(1+\sqrt{31})}{4}\).

Ответ: \(\frac{25(1+\sqrt{31})}{4}\).