3. Найти точки перегиба функции f(x), если:

Решение:

Чтобы найти точки перегиба функции \( f(x) = 2x^3 - 12x^2 \), необходимо найти вторую производную и приравнять её к нулю.

1. Найдём первую производную: \( f'(x) = 6x^2 - 24x \).
2. Найдём вторую производную: \( f''(x) = 12x - 24 \).
3. Приравняем вторую производную к нулю: \( 12x - 24 = 0 \).
   \( 12x = 24 \).
   \( x = \frac{24}{12} = 2 \).
4. Проверим знак второй производной слева и справа от \( x = 2 \).
   При \( x < 2 \) (например, \( x = 0 \)): \( f''(0) = 12(0) - 24 = -24 < 0 \) (выпукла вниз).
   При \( x > 2 \) (например, \( x = 3 \)): \( f''(3) = 12(3) - 24 = 36 - 24 = 12 > 0 \) (выпукла вверх).
5. Так как вторая производная меняет знак при \( x = 2 \), то \( x = 2 \) является точкой перегиба. Найдем значение функции в этой точке: \( f(2) = 2(2)^3 - 12(2)^2 = 2(8) - 12(4) = 16 - 48 = -32 \).

Ответ: Точка перегиба имеет координаты (2, -32).