3. Найти все решения неравенств, принадлежащие отрезку [0;3π] 1)cos x≥ urertype12

Решение:

Нам нужно найти решения неравенства \( \cos x \ge \frac{1}{2} \) на отрезке \( [0; 3\pi] \).

Сначала найдём углы, для которых \( \cos x = \frac{1}{2} \). Это \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.

Учитывая, что \( \cos x \ge \frac{1}{2} \), мы ищем значения \( x \), где косинус больше или равен \( \frac{1}{2} \). На единичной окружности это соответствует дуге, где абсцисса больше или равна \( \frac{1}{2} \).

Основной интервал, удовлетворяющий неравенству, — это \( [-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3}] \).

Теперь учтём отрезок \( [0; 3\pi] \) и периодичность функции \( \cos x \) (период \( 2\pi \)).

1. Интервал \( [0; 2\pi] \): \( \cos x \ge \frac{1}{2} \) выполняется на \( [0; \frac{\pi}{3}] \cup [2\pi - \frac{\pi}{3}; 2\pi] \), то есть на \( [0; \frac{\pi}{3}] \cup [\frac{5\pi}{3}; 2\pi] \).
2. Интервал \( (2\pi; 3\pi] \): добавляем период \( 2\pi \) к основному интервалу. \( [-\frac{\pi}{3} + 2\pi; \frac{\pi}{3} + 2\pi] = [\frac{5\pi}{3}; \frac{7\pi}{3}] \). Пересекая с \( (2\pi; 3\pi] \), получаем \( (2\pi; \frac{7\pi}{3}] \).

Объединяя все найденные интервалы в пределах \( [0; 3\pi] \):

\( [0; \frac{\pi}{3}] \cup [\frac{5\pi}{3}; 2\pi] \cup (2\pi; \frac{7\pi}{3}] \) = \( [0; \frac{\pi}{3}] \cup [\frac{5\pi}{3}; \frac{7\pi}{3}] \).

Учитывая, что \( \frac{7\pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3} \) и \( 3\pi = 2\pi + \pi \), и что \( \frac{7\pi}{3} < 3\pi \).

В пределах \( [0; 3\pi] \), решениями будут:

• Из первого полного оборота: \( [0; \frac{\pi}{3}] \cup [\frac{5\pi}{3}; 2\pi] \)
• Из второго оборота: \( [2\pi; \frac{7\pi}{3}] \)

Объединяя их: \( [0; \frac{\pi}{3}] \cup [\frac{5\pi}{3}; \frac{7\pi}{3}] \).

Ответ: \( [0; \frac{\pi}{3}] \cup [\frac{5\pi}{3}; \frac{7\pi}{3}] \).