3. Объем конуса равен 16. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

Решение:

Пусть V — объем большего конуса, а v — объем меньшего конуса. Нам известно, что \( V = 16 \).

Сечение проведено через середину высоты параллельно основанию. Это означает, что высота меньшего конуса \( h_v \) в два раза меньше высоты большего конуса \( H \), то есть \( h_v = \frac{1}{2}H \).

Так как сечение параллельно основанию, меньший конус подобен большему. Отношение их линейных размеров (включая высоту) равно \( k = \frac{h_v}{H} = \frac{1}{2} \).

Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия:

\[ \frac{v}{V} = k^3 \]\[ \frac{v}{V} = \left(\frac{1}{2}\right)^3 \]\[ \frac{v}{V} = \frac{1}{8} \]\[ v = \frac{1}{8}V \]\[ v = \frac{1}{8} \cdot 16 \]\[ v = 2 \]

Ответ: Объем меньшего конуса равен 2.