3. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 60°. В основании конуса вписан треугольник, у которого одна сторона равна 8 см, а противолежащий угол равен 30°. Определи площадь полной поверхности конуса.

Решение:

1. Полная поверхность конуса состоит из площади боковой поверхности и площади основания: \( S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} \).
2. Площадь основания: \( S_{осн} = \pi R^2 \), где \( R \) — радиус основания.
3. Площадь боковой поверхности: \( S_{бок} = \pi R L \), где \( L \) — образующая.
4. По условию, в основании конуса вписан треугольник. Одна сторона треугольника равна 8 см, а противолежащий угол — 30°. По теореме синусов для вписанного треугольника, диаметр описанной окружности (которым является основание конуса) равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла: \( 2R = \frac{a}{\sin \alpha} \).
5. Подставим известные значения: \( 2R = \frac{8}{\sin 30^\circ} = \frac{8}{0.5} = 16 \) см.
6. Отсюда радиус основания конуса: \( R = \frac{16}{2} = 8 \) см.
7. Из условия, образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 60°. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса (h), радиусом основания (R) и образующей (L). В этом треугольнике угол между образующей и радиусом равен 60°.
8. Найдём образующую: \(
   L = \frac{R}{\cos 60^\circ} = \frac{8}{0.5} = 16 \) см.
9. Теперь вычислим площади:
10. Площадь основания: \( S_{осн} = \pi R^2 = \pi \cdot 8^2 = 64 \pi \) см².
11. Площадь боковой поверхности: \( S_{бок} = \pi R L = \pi \cdot 8 \cdot 16 = 128 \pi \) см².
12. Площадь полной поверхности: \( S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 64 \pi + 128 \pi = 192 \pi \) см².

Ответ: \( 192 \pi \) см².