3. Образующая конуса равна 18 см. Угол между образующей и плоскостью основания 60°. Найти высоту и площадь основания конуса.

Решение:

Угол между образующей конуса и плоскостью основания — это угол между образующей и радиусом основания, проведённым в точку касания образующей с основанием. Этот угол равен 60°.

Дано:

Образующая \( l = 18 \) см

Угол \( \alpha = 60^{\circ} \)

Найти: высоту \( h \) и площадь основания \( S_{осн} \)

1. Найдём радиус основания \( r \) с помощью синуса угла \( \alpha \): \( \sin \alpha = \frac{h}{l} \)
2. \( \sin 60^{\circ} = \frac{h}{18} \)
3. \( h = 18 \cdot \sin 60^{\circ} = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3} \) см
4. Найдём радиус основания \( r \) с помощью косинуса угла \( \alpha \): \( \cos \alpha = \frac{r}{l} \)
5. \( \cos 60^{\circ} = \frac{r}{18} \)
6. \( r = 18 \cdot \cos 60^{\circ} = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9 \) см
7. Площадь основания конуса (круг) вычисляется по формуле: \( S_{осн} = \pi r^2 \)
8. \( S_{осн} = \pi \cdot 9^2 = 81 \pi \) см²

Ответ: высота \( h = 9\sqrt{3} \) см, площадь основания \( S_{осн} = 81\pi \) см².