3. Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 110°. Найдите все углы данного треугольника.

Решение:

Пусть дан равнобедренный треугольник \( ABC \), где \( AB = BC \). Угол при вершине \( B \) — угол между равными сторонами, углы \( A \) и \( C \) — углы при основании, и \( \angle A = \angle C \).

Внешний угол треугольника смежен с внутренним углом при той же вершине. Сумма смежных углов равна 180°.

Случай 1: Внешний угол при вершине, не являющейся вершиной равнобедренного треугольника (например, при основании A).

1. Пусть внешний угол при вершине \( A \) равен 110°. Тогда внутренний угол \( \angle A = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ} \).
2. Так как \( \angle A = \angle C \) (углы при основании равнобедренного треугольника), то \( \angle C = 70^{\circ} \).
3. Сумма углов треугольника равна 180°. Найдем угол при вершине \( B \): \( \angle B = 180^{\circ} - (\angle A + \angle C) = 180^{\circ} - (70^{\circ} + 70^{\circ}) = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ} \).

Случай 2: Внешний угол при вершине равнобедренного треугольника (вершина B).

1. Пусть внешний угол при вершине \( B \) равен 110°. Тогда внутренний угол \( \angle B = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ} \).
2. Так как \( \angle B = 70^{\circ} \) — это угол при вершине, то углы при основании \( A \) и \( C \) равны: \( \angle A = \angle C = \frac{180^{\circ} - \angle B}{2} = \frac{180^{\circ} - 70^{\circ}}{2} = \frac{110^{\circ}}{2} = 55^{\circ} \).

Ответ: Возможны два варианта углов треугольника: 1) 70°, 70°, 40°; 2) 55°, 55°, 70°.