3. Около равнобедренного тре- угольника описана окруж- ность радиуса 25 см. Расстоя- ние от центра окружности до основания равно 7 см. Най- дите площадь треугольника.

Решение:

1. Определим высоту равнобедренного треугольника:

   Рассмотрим треугольник, образованный радиусом, проведенным к вершине равнобедренного треугольника, и отрезком от центра окружности до основания. В этом треугольнике гипотенуза равна радиусу окружности (R = 25 см), а один из катетов равен расстоянию от центра до основания (d = 7 см).

   Найдем второй катет, который является частью высоты треугольника, используя теорему Пифагора:

   \[ h_1^2 + d^2 = R^2 \]\[ h_1^2 + 7^2 = 25^2 \]\[ h_1^2 + 49 = 625 \]\[ h_1^2 = 625 - 49 \]\[ h_1^2 = 576 \]\[ h_1 = \sqrt{576} \]\[ h_1 = 24 \text{ см} \]
2. Определим длину основания треугольника:

   Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, проходит через центр описанной окружности. Эта высота состоит из двух частей: отрезка от центра до основания (d = 7 см) и другого отрезка от центра до вершины, который равен радиусу (R = 25 см). Однако, центр окружности может быть как внутри, так и вне треугольника. В данном случае, поскольку расстояние от центра до основания (7 см) меньше радиуса (25 см), центр окружности находится внутри треугольника, и высота треугольника (H) равна сумме этих двух отрезков.

   Важно: Если бы расстояние от центра до основания было больше радиуса, центр был бы вне треугольника, и высота была бы разностью.

   \[ H = R + h_1 \]\[ H = 25 + 24 \]\[ H = 49 \text{ см} \]
3. Найдем половину основания:

   Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом, проведенным к боковой стороне треугольника, и половиной основания. Высота H делит основание пополам. Мы уже нашли отрезок от центра окружности до вершины, который является радиусом (25 см), и половину высоты от основания до центра (7 см).

   По теореме Пифагора, половина основания (b/2) равна:

   \[ (b/2)^2 + d^2 = R^2 \] - это уже было использовано, необходимо использовать другую конфигурацию.

   Корректировка: Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом (R=25), половиной основания (b/2) и высотой от вершины до основания (H=49). Но это не совсем верно.

   Правильный подход: В прямоугольном треугольнике, образованном радиусом (25 см), половиной основания (b/2) и отрезком от центра окружности до середины основания (7 см), мы можем найти половину основания. Этот прямоугольный треугольник имеет гипотенузу R = 25 см, один катет d = 7 см, и второй катет b/2.

   \[ (b/2)^2 + d^2 = R^2 \]\[ (b/2)^2 + 7^2 = 25^2 \]\[ (b/2)^2 + 49 = 625 \]\[ (b/2)^2 = 625 - 49 \]\[ (b/2)^2 = 576 \]\[ b/2 = \sqrt{576} \]\[ b/2 = 24 \text{ см} \]
4. Найдем длину основания:

   Длина всего основания (b) равна удвоенной половине основания:

   \[ b = 2 imes (b/2) \]\[ b = 2 imes 24 \]\[ b = 48 \text{ см} \]
5. Найдем площадь треугольника:

   Площадь треугольника вычисляется по формуле:

   \[ S = \frac{1}{2} imes ext{основание} imes ext{высота} \]\[ S = \frac{1}{2} imes b imes H \]\[ S = \frac{1}{2} imes 48 imes 49 \]\[ S = 24 imes 49 \]\[ S = 1176 \text{ см}^2 \]

Ответ: 1176 см²