3. Определить, какой угол (тупой или острый) образует с положительным направлением оси х касательная к графику функции y=f(x), проведенная в точке с абсциссой хо

Решение:

Для определения угла наклона касательной к графику функции в точке \( x_0 \) нужно найти значение производной функции \( y'(x_0) \). Тангенс угла наклона \( \alpha \) равен производной в этой точке: \( \tan \alpha = y'(x_0) \).

Если \( y'(x_0) > 0 \), то \( \alpha \) — острый угол.

Если \( y'(x_0) < 0 \), то \( \alpha \) — тупой угол.

Если \( y'(x_0) = 0 \), то \( \alpha = 0 \) (касательная параллельна оси Ox).

а) \( y = -x^2 - 7x + 8 \) в точке \( x_0 = 1 \)

1. Найдем производную функции: \( y' = (-x^2 - 7x + 8)' = -2x - 7 \).
2. Вычислим значение производной в точке \( x_0 = 1 \): \( y'(1) = -2(1) - 7 = -2 - 7 = -9 \).
3. Так как \( y'(1) = -9 < 0 \), то угол наклона тупой.

б) \( y = \sqrt{4x - 3} \) в точке \( x_0 = 2 \)

1. Найдем производную функции: \( y' = (\sqrt{4x - 3})' = \frac{1}{2\sqrt{4x - 3}} \cdot (4x - 3)' = \frac{4}{2\sqrt{4x - 3}} = \frac{2}{\sqrt{4x - 3}} \).
2. Вычислим значение производной в точке \( x_0 = 2 \): \( y'(2) = \frac{2}{\sqrt{4(2) - 3}} = \frac{2}{\sqrt{8 - 3}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \).
3. Так как \( y'(2) = \frac{2}{\sqrt{5}} > 0 \), то угол наклона острый.

в) \( y = \frac{3x - 5}{x - 3} \) в точке \( x_0 = -1 \)

1. Найдем производную функции, используя правило частного \( (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \):
   \( u = 3x - 5 \), \( u' = 3 \)
   \( v = x - 3 \), \( v' = 1 \>
   \( y' = \frac{3(x - 3) - (3x - 5)(1)}{(x - 3)^2} = \frac{3x - 9 - 3x + 5}{(x - 3)^2} = \frac{-4}{(x - 3)^2} \).
2. Вычислим значение производной в точке \( x_0 = -1 \): \( y'(-1) = \frac{-4}{(-1 - 3)^2} = \frac{-4}{(-4)^2} = \frac{-4}{16} = -\frac{1}{4} \).
3. Так как \( y'(-1) = -\frac{1}{4} < 0 \), то угол наклона тупой.

Ответ: а) тупой, б) острый, в) тупой.