3 Определите интервалы выпуклости и точки перегиба функции y = x^3 - 6x^2 + 9x.

Решение:

Чтобы определить интервалы выпуклости и точки перегиба функции, нам нужно найти вторую производную функции.

1. Найдем первую производную функции \( y = x^3 - 6x^2 + 9x \):
   \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 6x^2 + 9x) = 3x^2 - 12x + 9 \]
2. Найдем вторую производную функции:
   \[ y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 12x + 9) = 6x - 12 \]
3. Приравняем вторую производную к нулю, чтобы найти критические точки:
   \[ 6x - 12 = 0 \]
   \[ 6x = 12 \]
   \[ x = 2 \]
4. Определим знаки второй производной на интервалах \( (-\infty, 2) \) и \( (2, \infty) \).
5. Если \( x < 2 \), например \( x = 0 \): \( y''(0) = 6(0) - 12 = -12 < 0 \). Функция выпукла вниз на интервале \( (-\infty, 2) \).
6. Если \( x > 2 \), например \( x = 3 \): \( y''(3) = 6(3) - 12 = 18 - 12 = 6 > 0 \). Функция выпукла вверх на интервале \( (2, \infty) \).
7. Точка \( x = 2 \) является точкой перегиба, так как вторая производная меняет свой знак при переходе через эту точку.
8. Найдем значение функции в точке перегиба:
   \[ y(2) = (2)^3 - 6(2)^2 + 9(2) = 8 - 6(4) + 18 = 8 - 24 + 18 = 2 \]

Ответ: Интервалы выпуклости вниз: \( (-\infty, 2) \). Интервалы выпуклости вверх: \( (2, \infty) \). Точка перегиба: \( (2, 2) \).