3. Определите общее сопротивление цепи на схемах а и б, сопротивление всех резисторов одинаково и равно R=8Ом

Решение:

Дано: R = 8 Ом

Схема а)

В схеме а) два резистора последовательно соединены с параллельным соединением двух других резисторов. Однако, на схеме представлено два параллельных участка, каждый из которых содержит по два последовательно соединенных резистора. Внешний резистор включен последовательно с этой параллельной комбинацией.

Рассмотрим верхнюю ветвь параллельного соединения: два резистора R соединены последовательно, их общее сопротивление: \( R_{верх} = R + R = 2R \).

Рассмотрим нижнюю ветвь параллельного соединения: один резистор R.

Теперь эти две ветви соединены параллельно. Общее сопротивление параллельного участка:

• \( R_{параллельный} = \frac{R_{верх} × R_{нижняя}}{R_{верх} + R_{нижняя}} = \frac{(2R) × R}{2R + R} = \frac{2R^2}{3R} = \frac{2}{3}R \)

Наконец, последний резистор R соединен последовательно с этим параллельным участком. Общее сопротивление цепи а):

• \( R_{a} = R_{параллельный} + R = \frac{2}{3}R + R = \frac{5}{3}R \)

Подставляем значение R = 8 Ом:

• \( R_{a} = \frac{5}{3} × 8 = \frac{40}{3} \approx 13.33 \text{ Ом} \)

Схема б)

В схеме б) два резистора R соединены параллельно. Затем, эта параллельная комбинация соединена последовательно с резистором R. А затем, вся эта цепь соединена параллельно с еще одним резистором R.

Сопротивление параллельного соединения двух резисторов R:

• \( R_{параллельный1} = \frac{R × R}{R + R} = \frac{R^2}{2R} = \frac{1}{2}R \)

Этот участок соединен последовательно с резистором R. Сопротивление этого последовательного участка:

• \( R_{последовательный} = R_{параллельный1} + R = \frac{1}{2}R + R = \frac{3}{2}R \)

Этот участок соединен параллельно с последним резистором R. Общее сопротивление цепи б):

• \( R_{б} = \frac{R_{последовательный} × R}{R_{последовательный} + R} = \frac{(\frac{3}{2}R) × R}{\frac{3}{2}R + R} = \frac{\frac{3}{2}R^2}{\frac{5}{2}R} = \frac{3}{5}R \)

Подставляем значение R = 8 Ом:

• \( R_{б} = \frac{3}{5} × 8 = \frac{24}{5} = 4.8 \text{ Ом} \)

Ответ: а) \( \frac{40}{3} \approx 13.33 \text{ Ом} \); б) \( 4.8 \(\text{ Ом}\).