3 Определите промежутки возрастания и убывания функции y = x^3 - 3x.

Решение:

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, нужно исследовать знак её производной.

1. Найдем производную функции \( y = x^3 - 3x \):
   \( y' = (x^3 - 3x)' = 3x^2 - 3 \)
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
   \[ 3x^2 - 3 = 0 \]
   \[ 3x^2 = 3 \]
   \[ x^2 = 1 \]
   \[ x = \pm 1 \]
3. Определим знаки производной на интервалах, полученных после выделения критических точек \( x = -1 \) и \( x = 1 \):

— На интервале \( (-\infty, -1) \) возьмём, например, \( x = -2 \): \( y'(-2) = 3(-2)^2 - 3 = 3(4) - 3 = 12 - 3 = 9 > 0 \). Значит, функция возрастает.

— На интервале \( (-1, 1) \) возьмём, например, \( x = 0 \): \( y'(0) = 3(0)^2 - 3 = 0 - 3 = -3 < 0 \). Значит, функция убывает.

— На интервале \( (1, +\infty) \) возьмём, например, \( x = 2 \): \( y'(2) = 3(2)^2 - 3 = 3(4) - 3 = 12 - 3 = 9 > 0 \). Значит, функция возрастает.

Итог:

• Функция возрастает на интервалах \( (-\infty, -1] \) и \( [1, +\infty) \).
• Функция убывает на интервале \( [-1, 1] \).

Ответ: Функция возрастает на \( (-\infty, -1] \) и \( [1, +\infty) \), убывает на \( [-1, 1] \).