3. Основанием призмы служит прямоугольник со сторонами 4 и 6 см. Боковое ребро, равное 8 см, наклонено к плоскости основания под углом 45°. Найдите высоту призмы и объем призмы.

Решение:

1. Основанием призмы служит прямоугольник со сторонами 4 см и 6 см. Площадь основания:
   \( S_{осн} = 4 \text{ см} \cdot 6 \text{ см} = 24 \text{ см}² \)
2. Боковое ребро \( L = 8 \text{ см} \) наклонено к плоскости основания под углом \( \alpha = 45° \). Высота призмы \( h \) связана с длиной бокового ребра и углом наклона формулой:
   \( h = L \cdot \sin(\alpha) \)
3. Подставим значения:
   \( h = 8 \text{ см} \cdot \sin(45°) \).
   \( \sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
4. Рассчитаем высоту:
   \( h = 8 \text{ см} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \text{ см} \)
5. Объём призмы вычисляется по формуле: \( V = S_{осн} \cdot h \).
6. Подставим площадь основания и найденную высоту:
   \( V = 24 \text{ см}² \cdot 4\sqrt{2} \text{ см} = 96\sqrt{2} \text{ см}³ \)

Ответ: Высота призмы \( 4\sqrt{2} \) см, объем призмы \( 96\sqrt{2} \) см³.