3. Отметьте на координатной плоскости точки A(-3; 1), B(0; -4) и M(2;-1). Проведите прямую AB. Через точку M проведите прямую a, параллельную прямой AB, и прямую b, перпендикулярную прямой AB.

Решение:

Данные точки:

• A(-3; 1)
• B(0; -4)
• M(2; -1)

1. Проведём прямую AB.

Уравнение прямой, проходящей через две точки \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \), имеет вид:

\[ \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} \]

Подставляем координаты точек A и B:

\[ \frac{x - (-3)}{0 - (-3)} = \frac{y - 1}{-4 - 1} \]\[ \frac{x + 3}{3} = \frac{y - 1}{-5} \]\[ -5(x + 3) = 3(y - 1) \]\[ -5x - 15 = 3y - 3 \]\[ 3y = -5x - 12 \]\[ y = -\frac{5}{3}x - 4 \]Угловой коэффициент прямой AB: \( k_{AB} = -\frac{5}{3} \).

2. Проведём прямую 'a', параллельную прямой AB, через точку M(2; -1).

Параллельные прямые имеют одинаковый угловой коэффициент. Значит, \( k_a = k_{AB} = -\frac{5}{3} \).

Уравнение прямой 'a' с угловым коэффициентом \( k_a \), проходящей через точку \( (x_0, y_0) \):

\[ y - y_0 = k_a(x - x_0) \]\[ y - (-1) = -\frac{5}{3}(x - 2) \]\[ y + 1 = -\frac{5}{3}x + \frac{10}{3} \]\[ y = -\frac{5}{3}x + \frac{10}{3} - 1 \]\[ y = -\frac{5}{3}x + \frac{7}{3} \]

3. Проведём прямую 'b', перпендикулярную прямой AB, через точку M(2; -1).

Для перпендикулярных прямых произведение угловых коэффициентов равно -1: \( k_a \cdot k_b = -1 \).

\[ k_b = -\frac{1}{k_{AB}} = -\frac{1}{-5/3} = \frac{3}{5} \]\[ y - y_0 = k_b(x - x_0) \]\[ y - (-1) = \frac{3}{5}(x - 2) \]\[ y + 1 = \frac{3}{5}x - \frac{6}{5} \]\[ y = \frac{3}{5}x - \frac{6}{5} - 1 \]\[ y = \frac{3}{5}x - \frac{11}{5} \]

Ответ: Уравнения прямых: AB: \( y = -\frac{5}{3}x - 4 \), 'a': \( y = -\frac{5}{3}x + \frac{7}{3} \), 'b': \( y = \frac{3}{5}x - \frac{11}{5} \).