3. Отрезки AA₁, BB₁, CC₁ — медианы треугольника ABC. Выразите векторы AA₁, BB₁, CC₁ через векторы a = AC, b = AB.

Question

Вопрос:

3. Отрезки AA₁, BB₁, CC₁ — медианы треугольника ABC. Выразите векторы AA₁, BB₁, CC₁ через векторы a = AC, b = AB.

Accepted Answer

Пусть A₁, B₁ и C₁ — середины сторон BC, AC и AB соответственно.

Так как A₁ — середина BC, то \(\overrightarrow{AA_1}=\frac{1}{2}(\vec a+\vec b)\).
Так как B₁ — середина AC, то \(\overrightarrow{AB_1}=\frac{1}{2}\vec a\). Поэтому \(\overrightarrow{BB_1}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB_1}=-\vec b+\frac{1}{2}\vec a\).
Так как C₁ — середина AB, то \(\overrightarrow{AC_1}=\frac{1}{2}\vec b\). Поэтому \(\overrightarrow{CC_1}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AC_1}=-\vec a+\frac{1}{2}\vec b\).

Ответ: \(\overrightarrow{AA_1}=\frac{1}{2}(\vec a+\vec b),\quad \overrightarrow{BB_1}=\frac{1}{2}\vec a-\vec b,\quad \overrightarrow{CC_1}=\frac{1}{2}\vec b-\vec a.\)