3. Отрезки AB и CM пересекаются в точке О. Построить рисунок и найти координаты точки О, если А(-5; 2), B (3;-1), C(-7; -3) и М(1; 3).

Решение:

Для нахождения точки пересечения отрезков AB и CM, сначала найдем уравнения прямых, на которых лежат эти отрезки.

1. Уравнение прямой AB:

Формула уравнения прямой, проходящей через две точки (x₁, y₁) и (x₂, y₂):

\( \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} \)

Подставляем координаты точек A(-5; 2) и B(3; -1):

\[ \frac{x - (-5)}{3 - (-5)} = \frac{y - 2}{-1 - 2} \]

\[ \frac{x + 5}{8} = \frac{y - 2}{-3} \]

\[ -3(x + 5) = 8(y - 2) \]

\[ -3x - 15 = 8y - 16 \]

\[ 8y = -3x + 1 \]

\[ y = -\frac{3}{8}x + \frac{1}{8} \]

2. Уравнение прямой CM:

Подставляем координаты точек C(-7; -3) и M(1; 3):

\[ \frac{x - (-7)}{1 - (-7)} = \frac{y - (-3)}{3 - (-3)} \]

\[ \frac{x + 7}{8} = \frac{y + 3}{6} \]

\[ 6(x + 7) = 8(y + 3) \]

\[ 6x + 42 = 8y + 24 \]

\[ 8y = 6x + 18 \]

\[ y = \frac{6}{8}x + \frac{18}{8} \]

\[ y = \frac{3}{4}x + \frac{9}{4} \]

3. Нахождение точки пересечения O:

Приравниваем уравнения прямых:

\[ -\frac{3}{8}x + \frac{1}{8} = \frac{3}{4}x + \frac{9}{4} \]

Умножаем обе части на 8, чтобы избавиться от дробей:

\[ -3x + 1 = 6x + 18 \]

\[ 1 - 18 = 6x + 3x \]

\[ -17 = 9x \]

\[ x = -\frac{17}{9} \]

Теперь подставим значение x в одно из уравнений, например, в уравнение прямой CM:

\[ y = \frac{3}{4}\left(-\frac{17}{9}\right) + \frac{9}{4} \]

\[ y = -\frac{51}{36} + \frac{9}{4} \]

\[ y = -\frac{17}{12} + \frac{27}{12} \]

\[ y = \frac{10}{12} \]

\[ y = \frac{5}{6} \]

4. Построение рисунка:

Ответ: Координаты точки пересечения O: (-17/9; 5/6).