3. Отрезки AB и MP пересекаются в точке C и AC : BC = CP : CM. Докажите, что AP ∥ BM. Заполните доказательство: В треугольниках ACP и BCM ∠ACP = ∠BCM как ______, стороны AC и CP треугольника ACP ______ сторонам BC и ______ треугольника BCM по ______. Следовательно, △ACP __ △BCM по ______ признаку подобия треугольников. Угол PAC лежит против стороны CP, а угол MBC — против стороны ______, которые являются ______ сторонами ______ треугольников, поэтому ∠PAC __ ∠MBC. Так как углы PAC и MBC являются накрест ______ при пересечении прямых AP и ______ прямой AB, то AP __ BM. Что и требовалось ______.

В треугольниках ACP и BCM ∠ACP = ∠BCM как вертикальные углы. По условию AC : BC = CP : CM, поэтому стороны AC и CP треугольника ACP пропорциональны сторонам BC и CM треугольника BCM.

Следовательно, △ACP ∼ △BCM по второму признаку подобия треугольников: две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы между ними равны.

Угол PAC лежит против стороны CP, а угол MBC — против стороны CM. Стороны CP и CM являются соответственными сторонами подобных треугольников, поэтому соответствующие углы ∠PAC = ∠MBC.

Углы PAC и MBC являются накрест лежащими при пересечении прямых AP и BM прямой AB. Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, AP ∥ BM. Что и требовалось доказать.