3. Отрезки АВ и СМ пересекаются в точке О. Построить рисунок и найти координаты точки О, если А(-5; 2), B (3;-1), C(-7; -3) и М(1; 3).

Решение:

Для нахождения точки пересечения двух отрезков, заданных координатами своих концов, необходимо:

1. Найти уравнение прямой, проходящей через точки A и B.
2. Найти уравнение прямой, проходящей через точки C и M.
3. Решить систему из двух уравнений для нахождения координат точки пересечения.

1. Уравнение прямой AB:

Уравнение прямой, проходящей через две точки \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \), имеет вид: \( \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} \)

Для точек A(-5; 2) и B(3; -1):

\[ \frac{x - (-5)}{3 - (-5)} = \frac{y - 2}{-1 - 2} \]

\[ \frac{x + 5}{8} = \frac{y - 2}{-3} \]

\[ -3(x + 5) = 8(y - 2) \]

\[ -3x - 15 = 8y - 16 \]

\[ 8y = -3x + 1 \]

\[ y = -\frac{3}{8}x + \frac{1}{8} \]

2. Уравнение прямой CM:

Для точек C(-7; -3) и M(1; 3):

\[ \frac{x - (-7)}{1 - (-7)} = \frac{y - (-3)}{3 - (-3)} \]

\[ \frac{x + 7}{8} = \frac{y + 3}{6} \]

\[ 6(x + 7) = 8(y + 3) \]

\[ 6x + 42 = 8y + 24 \]

\[ 8y = 6x + 18 \]

\[ y = \frac{6}{8}x + \frac{18}{8} \]

\[ y = \frac{3}{4}x + \frac{9}{4} \]

3. Решение системы уравнений:

Приравниваем правые части уравнений:

\[ -\frac{3}{8}x + \frac{1}{8} = \frac{3}{4}x + \frac{9}{4} \]

Умножим все на 8, чтобы избавиться от дробей:

\[ -3x + 1 = 6x + 18 \]

\[ -3x - 6x = 18 - 1 \]

\[ -9x = 17 \]

\[ x = -\frac{17}{9} \]

Теперь найдем y, подставив x в любое из уравнений:

\[ y = \frac{3}{4} \left(-\frac{17}{9}\right) + \frac{9}{4} \]

\[ y = -\frac{51}{36} + \frac{81}{36} \]

\[ y = \frac{30}{36} \]

\[ y = \frac{5}{6} \]

4. Построение рисунка:

На графике синяя линия представляет отрезок AB, красная — отрезок CM. Зеленая точка — точка их пересечения.

Ответ: Координаты точки пересечения O(-17/9; 5/6).