3. Отрезки МК и РТ являются диаметрами двух окружностей с общим центром О. Докажите, что прямые МТ и РК параллельны.

Решение:

• Дано: Две окружности с центром O. MK и PT — диаметры.
• Доказать: MT || PK.
• Доказательство:
1. Рассмотрим треугольники MTO и PKО.
• MO = TO (радиусы большей окружности).
• PO = KO (радиусы меньшей окружности).
• ∠ MTO = ∠ KPO (вертикальные углы).
2. По второму признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), △MTO = △PKО.
3. Следовательно, MT = PK (стороны равных треугольников).
4. Рассмотрим треугольники MKO и PTO.
• MO = PO (радиусы большей окружности).
• KO = TO (радиусы меньшей окружности).
• ∠ MOK = ∠ POT (вертикальные углы).
5. По второму признаку равенства треугольников, △MKO = △PTO.
6. Следовательно, MK = PT (стороны равных треугольников).
7. Так как MK и PT являются диаметрами, то дуга MK = 180° и дуга PT = 180°.
8. Рассмотрим дугу MT. Угол MOT — центральный.
9. Рассмотрим дугу PK. Угол POK — центральный.
10. ∠ MOT = ∠ POK (вертикальные углы).
11. Следовательно, дуга MT = дуга PK.
12. Вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны.
13. Угол MPT опирается на дугу MT.
14. Угол KMT опирается на дугу PK.
15. Следовательно, ∠ MPT = ∠ KMT.
16. Эти углы являются накрест лежащими при прямых MT и PK и секущей PT.
17. Так как накрест лежащие углы равны, то прямые MT и PK параллельны.
• Что и требовалось доказать.