3. Отрезок КС — высота равнобедренного треугольника MNK с основанием МК. Через точку С проведена прямая DC, параллельная стороне МК так, что точка D лежит на стороне NK. Градусная мера угла DKC равна 30°. Определите вид треугольника MNK. Найдите внешний угол треугольника MNK при вершине М.

Question

Вопрос:

3. Отрезок КС — высота равнобедренного треугольника MNK с основанием МК. Через точку С проведена прямая DC, параллельная стороне МК так, что точка D лежит на стороне NK. Градусная мера угла DKC равна 30°. Определите вид треугольника MNK. Найдите внешний угол треугольника MNK при вершине М.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Решение:

1. Определяем вид треугольника MNK.

Так как КС — высота, то \(\angle KSC = 90°\).
Треугольник MNK равнобедренный с основанием МК, значит, \(MN = NK\) и \(\angle KMN = \angle CKN\).
Прямая DC параллельна МК, значит, \(DC Ⅰ MK\).
Так как \(DC Ⅰ MK\) и КС — высота, то КС также перпендикулярна DC, то есть \(\angle KCD = 90°\).
Нам дан \(\angle DKC = 30°\).
В прямоугольном треугольнике KCD: \(\angle KDC + \angle DCK = 90°\). \(\angle KDC = 90° - 30° = 60°\).
Так как \(DC Ⅰ MK\), то \(\angle NKD = \angle DKC = 30°\) (накрест лежащие углы при параллельных DC и MK и секущей NK).
В треугольнике MNK: \(\angle MNK = 180° - \angle KNM = 180° - \angle KND\).
\(\angle KND = 180° - \angle DKC = 180° - 30° = 150°\) (развернутый угол).
\(\angle KNM = 180° - 60° - 30° = 90°\).
В равнобедренном треугольнике MNK, \(\angle KMN = \angle CKN\). \(\angle CKN\) — это \(\angle MNK\).
\(\angle MNK = 180° - 2 \cdot \angle KMN\).
Поскольку \(DC Ⅰ MK\), то \(\angle NCD = \angle NMK\) (соответственные углы).
В прямоугольном треугольнике KCD, \(\angle KDC = 60°\).
Так как \(DC Ⅰ MK\), то \(\angle NKD = \angle KNM\) (внутренние накрест лежащие углы).
\(\angle NKD = 180° - 30° = 150°\).
В равнобедренном треугольнике MNK \(\angle KMN = \angle KNM\).
\(\angle KNM = 180° - \angle DKC = 180° - 30° = 150°\).
\(\angle CKN = 90° - 30° = 60°\).
\(\angle KMN = \angle KNM = 60°\).
Следовательно, треугольник MNK — равносторонний.

2. Находим внешний угол треугольника MNK при вершине М.

Так как треугольник MNK равносторонний, все его углы равны 60°.
Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним.
Внешний угол при вершине М = \(\angle MNK + \angle NKM = 60° + 60° = 120°\).
Альтернативно: внешний угол = 180° - внутренний угол = 180° - 60° = 120°.

Ответ: Треугольник MNK — равносторонний. Внешний угол треугольника MNK при вершине М равен 120°.