Ответ:
В официально-деловом стиле следует избегать усилительного повтора и эмоционально-оценочного слова. Заменим их нейтральными формулировками.
Исправление 1: «Очень-очень прошу» → «Прошу».
Исправление 2: «потрясающую» → «городскую» (нейтральный вариант; точное место проведения в исходном фрагменте не указано).
Исправленный вариант: «Заявление. Прошу Вас разрешить мне съездить на городскую олимпиаду по истории».
