3. Периметр равнобедренного тупоугольного треугольника равен 45 см, а одна из его сторон больше другой на 9 см. Найдите стороны этого треугольника.

Решение:

Пусть стороны равнобедренного тупоугольного треугольника равны \(a\), \(a\) и \(b\).

Периметр треугольника \(P = 2a + b\).

По условию, \(P = 45\) см.

\(2a + b = 45\)

Также по условию, одна сторона больше другой на 9 см. Возможны два случая:

Случай 1: Основание больше боковой стороны.

\(b = a + 9\)

Подставим это во второе уравнение:

\(2a + (a + 9) = 45\)

\(3a + 9 = 45\)

\(3a = 45 - 9\)

\(3a = 36\)

\(a = 12\) см

Тогда \(b = a + 9 = 12 + 9 = 21\) см.

Стороны треугольника: 12 см, 12 см, 21 см.

Проверим, является ли этот треугольник тупоугольным. В равнобедренном треугольнике тупым может быть только угол при вершине, противолежащий основанию, если основание самое длинное. У нас основание \(b = 21\) см, а боковые стороны \(a = 12\) см. Угол, противолежащий основанию, будет наибольшим. По теореме косинусов, если \(\\(b^2 > a^2 + a^2)\\) то угол при вершине тупой.

\(21^2 = 441\)

\(12^2 + 12^2 = 144 + 144 = 288\)

Так как \(441 > 288\), то угол при вершине тупой. Этот случай подходит.

Случай 2: Боковая сторона больше основания.

\(a = b + 9\)

Подставим это во второе уравнение:

\(2(b + 9) + b = 45\)

\(2b + 18 + b = 45\)

\(3b + 18 = 45\)

\(3b = 45 - 18\)

\(3b = 27\)

\(b = 9\) см

Тогда \(a = b + 9 = 9 + 9 = 18\) см.

Стороны треугольника: 18 см, 18 см, 9 см.

Проверим, является ли этот треугольник тупоугольным. Здесь боковые стороны равны \(a = 18\) см, а основание \(b = 9\) см. Наибольшая сторона — 18 см. В равнобедренном треугольнике тупым может быть угол при вершине, противолежащий основанию, если основание самое короткое. Но здесь тупой угол может быть только если \(a^2 > a^2 + b^2\) (невозможно) или \(a^2 > b^2 + a^2\) (невозможно).

В равнобедренном треугольнике тупым может быть только угол при вершине, противолежащий основанию, если основание является самой короткой стороной. Или угол при основании, если одна из боковых сторон больше суммы другой боковой стороны и основания (что невозможно).

В данном случае, наибольшие углы — углы при основании. Если \(a^2 > a^2 + b^2\), угол при основании тупой. Это невозможно.

Если \(a^2 > b^2 + a^2\) - невозможно.

По теореме косинусов: \(a^2 = a^2 + b^2 - 2ab \textit{cos}(\\( \\) \\[\(\angle\) C \\ )) \\[ \\(\angle\) C = 90^\(\text{o}\) \\ \\(\cos\)(\\( \\angle C \\ )) = 0 \\ \\a^2 = a^2 + b^2 \\ \\b = 0 \\ \\) Это прямоугольный треугольник.

Угол при вершине \(\alpha\), углы при основании \(\beta\).

\(2\beta + \text{угол при вершине} = 180^\text{o}\)

В треугольнике 18, 18, 9:

\(18^2 = 18^2 + 9^2 - 2 \times 18 \times 9 \times \textit{cos}(\\( \text{угол при основании} \\ ))\)

\(0 = 9^2 - 2 \times 18 \times 9 \times \textit{cos}(\\( \text{угол при основании} \\ ))\)

\(162 \times \textit{cos}(\\( \text{угол при основании} \\ )) = 81\)

\(\textit{cos}(\\( \text{угол при основании} \\ )) = 81 / 162 = 1/2\)

\(\text{угол при основании} = 60^\circ\). Это остроугольный треугольник.

Поэтому подходит только первый случай.

Ответ: стороны треугольника равны 12 см, 12 см и 21 см.