3. Перпендикуляр, проведенный из вершины тупого угла ромба, делит его сторону пополам. Периметр ромба равен 36 см. Найдите углы и меньшую диагональ ромба.

Сторона ромба равна \(36:4=9\) см. Обозначим тупой угол ромба через \(\alpha\). Перпендикуляр из его вершины к противоположной стороне образует прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза равна 9 см, а катет вдоль стороны равен половине стороны ромба: \(9:2=4.5\) см.

Следовательно, \(\cos(180^\circ-\alpha)=4.5/9=1/2\). Значит, \(180^\circ-\alpha=60^\circ\), откуда тупой угол \(\alpha=120^\circ\), а острый угол ромба равен \(60^\circ\).

Меньшая диагональ соединяет вершины острых углов и в треугольнике с двумя сторонами по 9 см заключает угол 120°. По теореме косинусов:

\(d^2=9^2+9^2-2\cdot9\cdot9\cos120^\circ=243\), поэтому \(d=9\sqrt3\) см.

Ответ: углы ромба — 60° и 120°; меньшая диагональ — \(9\sqrt3\) см.