3. Петя складывает 2027 дробей, каждая из которых равна 1/3, 1/5, 1/7, −1/3, −1/5, или −1/7 (в наборе не обязательно присутствуют дроби всех видов). Какое наибольшее число, меньшее 1, может получить Петя?

Запишем все дроби со знаменателем 105:

\(\frac13=\frac{35}{105}\), \(\frac15=\frac{21}{105}\), \(\frac17=\frac{15}{105}\).

Числитель суммы 2027 таких дробей является суммой 2027 нечётных чисел \(\pm35\), \(\pm21\), \(\pm15\). Поэтому он нечётный.

Если сумма меньше 1, то её числитель меньше 105. Наибольшее нечётное число, меньшее 105, — 103. Осталось показать, что оно достижимо.

Возьмём 2 дроби \(\frac13\), 2 дроби \(-\frac15\) и 5 дробей \(\frac17\). Их сумма равна:

\[2\cdot\frac13-2\cdot\frac15+5\cdot\frac17=\frac{70-42+75}{105}=\frac{103}{105}.\]

Получено 9 дробей. Добавим 1009 пар дробей \(\frac13\) и \(-\frac13\). Каждая пара даёт нулевую сумму, а всего дробей станет \(9+2\cdot1009=2027\).

Ответ: \(\frac{103}{105}\).